Hauptforschungsgebiete

Untersuchung der numerischen Stabilität von Krylov-Unterraum-Verfahren

Die verstärkt auftretenden großen, dünnbesetzten Gleichungssysteme werden aus Speicher- und Rechenzeitgründen immer häufiger mittels iterativer Verfahren gelöst. Eine wichtige Klasse dieser iterativen Verfahren ist die der Krylov-Unterraum-Verfahren. Diese sind der Theorie nach direkte Verfahren, d.h. sie lösen das Gleichungssystem in endlich vielen Schritten exakt. In endlicher Arithmetik ergeben sich eine Reihe von mehr oder minder starken Abweichungen, insbesondere in Bezug auf den Verlust der Orthogonalität der konstruierten Basis und der Konvergenzgeschwindigkeit. Diese Abweichungen sind am stärksten im Falle sogenannter Kurz-Term-Rekursionen, e.g., CG und Lanczos, welche gleichzeitig die Klasse der effektivsten Verfahren im Hinblick auf Speicherbedarf und Rechenzeit pro Schritt bilden.

Die bisherigen Analysen des Verhaltens von Krylov-Unterraum-Verfahren in endlicher Genauigkeit sind nicht hinreichend um alle beobachtbaren Phänomene tatsächlich zu erklären. Ein Grund für das Scheitern der bisherigen Analysen scheint im Festhalten an den Termini Rückwärtsfehler, Vorwärtsfehler und gemischter Vorwärt- Rückwärtsfehler, wie sie bei dichtbesetzten Gleichungssystemen Anwendung finden, zu liegen. Hier ist Raum für eine Verbesserung sowohl der Analysen als auch der Begrifflichkeiten.