Prof. Dr. Heinrich Voß
Research
Variationelle Charakterisierung von Eigenwerten für nichtlineare Eigenprobleme
Für eine große Klasse von linearen, selbstadjungierten Operatoren A auf einem Hilbertraum können die Eigenwerte des linearen Eigenwertproblems
characterisiert werden durch drei fundamentale Variationsprinzipien, das Rayleighssche Prinzip, die Poincarésche Minmax Characterisierung, und das Maxmin Prinzip von Courant, Fischer und Weyl.
In diesem Projekt studieren wir die entsprechenden Charakterisierungen der Eigenwerte für nichtlineare Eigenwertprobleme. Anwendungen finden diese Charakterisierungen z.B. für Probleme der freien Schwingungen der Fluid-Struktur Interaktion, Berechnungen der elektronischen Struktur von Halbleiter- Heterostrukturen, a priori Schranken fü AMLS.
Fluid-Struktur Interaktion
Freie Schwingungen einer Kopplung von Strukturen und Fluiden werden durch die nicht symmetrische, lineare Eigenwertaufgabe
beschrieben. Probleme dieses Typs werden dadurch behandelt, dass man zunächst die symmetrischen Eigenwertprobleme, die das Fluid und die Struktur getrennt beschreiben, mit einer effizienten Methode wie dem Lanczos Verfahren oder AMLS löst, und dann das Originalproblem auf den Raum der damit berechneten Eigenmoden projiziert. Die Kopplung wird also bei der Bestimmung des Ansatzraumes außer Acht gelassen.
In diesem Projekt untersuchen wir variationelle Charakterisierungen der Eigenwerte des Originalproblems und strukturerhaltende iterative Projektionsverfahren und Varianten von AMLS, die die Kopplung von Fluid und Struktur bereits in der Reduktionsphase berücksichtigen.
Iterative Projektionsverfahren für nichtlineare Eigenwertaufgaben
Für dünn besetzte lineare Eigenwertaufgaben
sind iterative Projektionsverfahren sehr effizient, bei denen man Approximationen für die gewünschten Eigenpaare aus Projektionen des Problems auf Teilräume kleiner Dimension erhält, und diese Teilräume im Verlauf des Verfahrens erweitert werden, wenn die angestrebte Genauigkeit noch nicht erreicht ist.
In diesem Projekt entwickeln und untersuchen wir Methoden dieses Typs für nichtlineare Eigenwertaufgaben. Da für nichtlineare Eigenwertaufgaben keine Normalformen bekannt sind, liegt eine besesondere Schwierigkeiten darin, das Verfahren daran zu hindern, bereits gefundene Eigenpaare erneut anzusteuern.
AMLS
In AMLS wird ein großes finite Elemente Model rekursiv unterteilt in viele Substrukturen auf verschiedenen Ebenen. Unter der Annahme, dass die inneren Freiheitsgrade der Substrukturen quasistatisch von den Randfreiheitsgraden abhängen, und indem man die Abweichung vom quasistatischen Verhalten mit einer kleinen Zahl ausgewählter Moden der Substruturen ausgleicht, wird die Zahl der Freiheitsgrade erheblich reduziert. Dabei wird trotzdem eine ausreichende Genauigeit für einen großen Teil des Spektrums erzielt.
Unter Benutzung von variationellen Charakterisierungen der Eigenwerte von nichtlinearen Eigenwertaufgaben haben wir kürzlich eine a priori Fehlerschranke für AMLS bewiesen. Ziel ist es, diese Techniken zu verwenden, um eine a posteriori Schranke zu erhalten und damit Abschneidestrategien für die Moden in AMLS zu entwickeln. Es sollen ferner die Anwendungsbereiche für AMLS auf andere Klassen von Eigenwertaufgaben erweitert werden.
Berechnung des elektronischen Verhaltens von Halbleiter-Heterostrukturen
Wir betrachten das Problem, die relevanten Energiezustände und zugehörigen Wellenfunktionen von (drei dimensionalen) Halbleiter Nanostrukturen zu berechnen. Diese ergeben sich aus Eigenwerten und Eigenvektoren der Schrödinger Gleichung
wobei das Potential V und die effektive Elektronenmasse m unstetig entlang der Grenzfläche zwischen dem Quantenpunkt und dem umgebenden Material sind. Nimmt man Nicht-Parabolizität der effektiven Elektronenmasse an, so erhält man für die Schrödinger Gleichung ein rationales Eigenwertproblem.
Diskretisierung mit FE oder FV Methoden liefert ein sehr großes nichtlineares Matrixeigenwertproblem, das mit iterativen Projektionsverfahren vom Arnoldi and Jacobi-Davidson Typ sehr effizient gelöost werden kann.
Modelreduktion mit hierarchischen Substrukturierungen
Die Modellierung von zeit-invarianten linearen Systemen führt oft auf Zustandsraumprobleme sehr großer Dimension (z.B. wenn die Zustandsraumgleichung eine partielle Differentialgleichung ist). Modelreduktion ist ein universelles Instrument bei der Analyse und Simulation solcher Probleme. Dabei wird das System durch ein wesentlich kleineres Problem ersetzt, das die wesentlichen Systemcharakteristiken erhält (z.B. Stabilität, Minimalität).
In diesem Projekt untersuchen wir Reduktionsmethoden, die auf hierarchischen Substrukturierung basieren, wie sie in AMLS für riesige Eigenwertprobleme verwendet werden. Das Originalproblem wird rekursiv in kleinere Substrukturen auf verschiedenen Ebenen zerlegt, und es werden (bekannte) Reduktionsmethoden auf die zugehörigen Substruktur LTI-Probleme angewandt. Auf diese Weise wird ein geeigneter Ansatzraum konstruiert, auf den das Originalproblem projiziert wird.
Eigenwertbasierte Methoden für regularisierte vollständige Ausgleichsprobleme
Das vollständige Ausgleichsproblem ist ein erfolgreicher Zugang zu linearen Problemen, bei denen sowohl die rechte Seite als auch die Systemmatrix fehlerbehaftet sind. Diese Probleme sind zusätzlich recht oft schlecht gestellt. Dann ist die Lösung des Ausgleichsproblems oder vollständigen Ausgleichsproblems oft ohne physikalische Bedeutung, und Regularisierung ist notwendig, um die Lösung zu stabilisieren.
In diesem Projekt untersuchen wir Methoden, die auf der Lösung einer Folge von linearen oder quadratischen Eigenwertproblemen beruhen. Besondere Bedeutung besitzt dabei die Wiederverwendung von Informationen aus vorhergehenden Iterationsschritten, wodurch die Verfahren erheblich beschleunigt werden köonnen.
